Isolants topologiques 2D/3D

Note P25 — Isolants topologiques 2D et 3D
Chern de Haldane, Z2 de Kane–Mele, indice fort par parité
Machine Noétique — chantier exploratoire hors-programme
(canal séparé, hors Programme 2027)
3 août 2027
V erdict
Succès (6/6). La machine généralise le Chern de P18 aux réseaux réels : modèle de Haldane
sur nid d’abeille, C = ±1 en phase topologique, frontière de phase dérivée exactement |M/t2| =
3
√
3 | sin φ| ; Kane–Mele = deux copies conjuguées ( C↑ = −1, C↓ = +1) : Ctotal = 0 mais Z2 = 1 ;
correspondance bord–volume vérifiée sur ruban (paire de Kramers hélicoïdale épinglée sur k = 0,
aucune sur k = π) ; en 3D, indice fort ν0 = 1 pour 1 < |m| < 3, dérivé du produit des parités
aux 8 TRIM et confirmé numériquement ( ⟨Γ0⟩ des paires occupées).
1 Le banc
Trois modèles minimaux, trois dimensions d’espace des phases, un seul outil — la méthode des variables
de liaison de Berry (P18), sans aucun paramètre ajusté :
— Haldane (2D, brisure TR) : dz(k) = M − 2t2 sin φ ∑
i sin(k·bi), structure f (k) = t1
∑
i eik·δi.
Aux vallées : dz(K) = M + 3
√
3 t2 sin φ, dz(K′) = M − 3
√
3 t2 sin φ.
— Kane–Mele (2D, TR conservée) : deux copies de Haldane ( φ, −φ) pour les deux spins.
— Wilson–Dirac (3D) : H(k) = ∑
i sin ki Γi +
(
m + ∑
i cos ki
)
Γ0 ; masses aux 8 TRIM : m + 3
(×1), m + 1 (×3), m − 1 (×3), m − 3 (×1) ; (−1)ν0 = ∏
a[− sgn(ma)].
2 Résultats
Test dérivé numérique accord
Chern Haldane en phase C = ±1 −1 (stable, grille 302) ✓
Frontière de phase |M/t2| = 3
√
3| sin φ| = 5,196 transition à 5,0 ✓
Kane–Mele Ctotal = 0, Z2 = 1 C↑ = −1, C↓ = +1 ✓
Ruban hélicoïdal paire de Kramers au TRIM 2 paires à k = 0, 0 à k = π ✓
3D, phases fortes 1 < |m| < 3 ν0 numérique = analytique (6/6) ✓
Levier : φ = 0, t2 = 0, |M | grand, m = 4 trivial C = 0, ν0 = 0 ✓
1
Lecture / Levier
Le levier est le mécanisme, pas le matériau. Sans flux ( φ = 0, TR restaurée) ou sans terme
NNN ( t2 = 0 ), Haldane est trivial pour tout M : la topologie exige le quantum de flux de P17
tissé dans le réseau. Hors de la fenêtre d’inversion de bande ( |M | > 3
√
3 t2| sin φ| en 2D, |m| > 3
ou |m| < 1 en 3D), tous les invariants s’annulent. Le même schéme qu’en P18–P24 : la topologie
est une propriété du vide de bandes (signe des masses aux points critiques), pas un ingrédient
ajouté.
B3-F AIL
Premier jet : échec 1/6, publié et corrigé. (i) La méthode de liaison de Berry produisait
des entiers stables mais faux ( C = 12 !) : sur la couture du tore de Brillouin, le Hamiltonien
était évalué à v = 1 ,0 au lieu de v = 0 — différence d’un ULP, suffisante pour que LAPACK
retourne un vecteur propre de signe opposé, non compensé dans la somme des plaquettes (flux
parasite de ±π par plaquette frontière). Corrigé par indices modulaires ; contrôle QWZ ( |C| = 1
pour 0 < |m| < 2, 0 sinon) retrouvé exactement. (ii) La vérification 3D prévue par Chern des
tranches kz = 0, π était vaine par construction : ces tranches sont invariantes TR, leur Chern est
nul. Remplacée par la parité des paires de Kramers, mesurée numériquement via ⟨Γ0⟩. (iii) Non
prédits : les magnitudes (tailles des gaps, vitesses de bord) — même régime que la frontière des
magnitudes de P24.
V erdict
Succès (6/6) : Chern de Haldane ±1 et frontière 3
√
3 exacte ; Kane–Mele Z2 = 1 sans Hall
net ; bord hélicoödal vérifié (correspondance bord–volume) ; indice fort 3D dérivé du seul signe
des masses aux TRIM ; levier discriminant négatif sans mécanisme. La hiérarchie Chern (P18)
→ Z2 (TR) → indice fort (3D, parité) est dérivée d’un seul outil. Compteur du chantier : 24
succès / 5 partiels-négatifs.
Chaîne documentaire. Script p25_topologie.py (sha 9d970bdadf90) ; données p25_topologie.json (sha 393509122e4d) ;
figure p25_topologie.png (sha 0b7c81c534c8). S’appuie sur le quantum de flux P17 (sha 8fa68c90ac2b) et le Chern de
P18 (sha d44f8c0f8062). Règles permanentes : B3-F AIL, fermer, ne pas ajouter , conserver les versions , motivation, pas
postulat.
2

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