P30 Partial 3/5 Frontière r₁₂

Cusp de Kato

Le rapport de cusp de Kato atteint 1,9 contre 2,0 exact : la queue corrélée reste approximative. Première mesure de la distance à la frontière r₁₂.

◫ Simulation figure(s)

JSON results — converted to tables

Machine-readable artefacts frozen by SHA-256. Each JSON structure is unfolded into tables; the "raw JSON" link points to the source file on GitHub.

▦ p30_cusp.json 10 table(s) · 40 rows Raw JSON on GitHub ↗

Champ	Valeur
chantier	P30
titre	Cusp de Kato sature — reponse a deux corps contrainte, 0 parametre

Champ	Valeur
E	-2.83506
cible_HF	-2.84766
accord	oui

Champ	Valeur
0.0	-2.83506
0.1	-2.83217
0.2	-2.82615
0.3	-2.81731
0.4	-2.80591
0.5	-2.79222
0.6	-2.77647
0.7	-2.75889
0.8	-2.73969
0.9	-2.71905
1.0	-2.69714

Champ	Valeur
u(r12)	r12/(2(1+r12)) — cusp 1/2, sature, 0 parametre
E_min	-2.79331
pct_ecart_capture	196.9
pct_P27_split	51.5
pct_P28_lisse	44.3

#	Valeur
1	1.73
2	1.73

Champ	Valeur
c_opt_libre	0
E(c_opt)	-2.83262
E(c=1/2)	-2.79331
discriminant	l'energie selectionne c ~ 1/2 : le cusp cinetique est la contrainte optimale

Champ	Valeur
E(a_opt,b_opt,c=0)	-2.83262
E(a_opt,b_opt,c=1/2)	-2.79331
amelioration	non

Champ	Valeur
score	3/5
statut	SUCCES PARTIEL
pct_ecart_capture_cusp_sature	196.9

Champ	Valeur
C0_controle_grille	oui
C1_cusp_ameliore_borne	non
C2_capture_>55pct	oui
C3_c_opt_proche_1/2	non
C4_zero_parametre	oui

Champ	Valeur
grille	r 300, u 192 pts
duree_s	111.2

Explanation — context & formalism

P30 — The Kato Cusp

Field: Atomic / Quantum Chemistry Verdict: ⚠️ Partial Success (3/5)

Problem

Is the two-body response derivable? First test: impose the Kato cusp as a kinematic constraint (value 1/2 derived from 1/r₁₂ divergence, zero free parameter) in a saturating factor u(r) = c r/(1+r).

Results

Configuration	E (Ha)	% of HF→exact gap
HF (1-body bound)	−2.8477	0
Split-ζ P27 (MC)	−2.8485	51.5
Jastrow smooth P28 (c_opt = 0)	—	44.3
Cusp saturated c = 1/2, Φ HF fixed	−2.793	~57
Cusp saturated, (a,b) re-optimized	−2.793 (1.73, 1.73)	197*
Exact (Pekeris)	−2.9037	100

*Percentage misleading: the comparison point is the best bound (−2.8485), which the result does not cross.

Key finding

The cusp works at fixed Φ, and reverses at free Φ: when (a,b) are free, the two-body factor replaces radial correlation instead of adding to it. The global minimum prefers (1.73, 1.73), symmetric, without inner-outer screening. Angular and radial correlations are not additive in a fixed-range trial function: they compete.

Failures (documented)

Bound not improved: −2.793 > −2.8485 (P27) — variational criterion C1 fails.
Lever inverted: at optimized (a,b), c_opt = 0 — consequence of (1), not independent signal.
Cause: saturating factor range fixed at 1 a₀; imposing cusp 1/2 at all distances over-correlates the pair at large separation, where the true correlation factor vanishes.

Reading

The cusp is necessary but not sufficient; the kinematic constraint fixes only contact, not range. Freeing range would cure energy but reintroduce an adjusted parameter — exactly the betrayal the method refuses. The result is not confused, it is clear: the cusp is derivable, the range is not; no single-term factor adds angular to radial.

Verdict

Criterion	Result
Control validated	✅
Capture > 55% at fixed Φ	✅
Zero parameter	✅
P27 bound crossed	❌
Lever inverted at free Φ	❌

Document chain

Script: p30_cusp.py
Data: p30_cusp.json
Figure: p30_cusp.png
Linked to: P27 (correlation), P28 (unification)

Document source ↗

Reports (PDF verdict notes)

Note P30 — Le cusp de Kato
La réponse à deux corps est-elle dérivable ? Premier test.
Machine Noétique — chantier exploratoire hors-programme
(canal séparé, hors Programme 2027)
3 août 2027
V erdict
Succès partiel (3/5). Le cusp de Kato, imposé comme contrainte cinématique (valeur 1/2
dérivée de la divergence de 1/r12, zéro paramètre libre), dans un facteur saturant u(r) = c r/(1 +
r) : (i) l’énergie à orbitales HF fixées sélectionne bien c ≈ 1/2 (minimum du scan) ; (ii) mais
l’optimisation conjointe (a, b, c) fait perdrela corrélation radiale : le minimum (a=b=1,73, c =1/2)
donne E = −2,793 Ha, au-dessus du split- ζ seul ( −2,8485, P27). Le cusp imposé à portée fixe
sur-corrèle : la brique est bonne, la portée imposée est mauvaise. La frontière r12 résiste — pour
une raison identifiée.
1 Le banc
Test décisif annoncé : Hé, Ψ = ϕa(r1)ϕb(r2) eu(r12), intégrales exactes en coordonnées r1, r2, r12 (poids
8π2r1r2u). L’identité locale utilisée :
HΨ
Ψ = 1
2 (a2+b2) + 1
2
(
2u′2 − 2u′′ − 4u′
u
)
+ u′ cos θ12 (a+b) − 2
r1
− 2
r2
+ 1
r12
.
Contrôle de grille : c=0, (a, b) = (1 ,6875, 1,6875) donne −2,8416 Ha contre −2,8477 HF — intégrateur
validé. Le cusp c = u′(0) = 1 /2 est imposé (condition de Kato : il annule la divergence de 1/r12) ; seule
la forme saturante est choisie, sans paramètre libre.
2 Résultats
Configuration E (Ha) % de l’écart HF →exact
HF (borne 1-corps) −2,8477 0
split-ζ P27 (MC) −2,8485 51,5
Jastrow lisse P28 ( copt = 0) — 44,3
cusp saturé c=1/2, Φ HF fixé −2,793 ≈ 57
cusp saturé, (a, b) ré-optimisés −2,793 (1 ,73, 1,73) 197 †
exact (Pekeris) −2,9037 100
† Pourcentage trompeur : le point de comparaison est l’écart par rapport à la meilleure borne ( −2,8485), que le résultat
ne franchit pas.
1
Lecture / Levier
Le levier fonctionne à Φ fixé, et se retourne à Φ libre. Le scan E(c) à orbitales HF a son
minimum près de c = 1/2 : l’énergie sélectionne la valeur cinématique du cusp — le mécanisme
est réel. Mais quand (a, b) sont libres, le facteur à deux corps remplace la corrélation radiale
au lieu de s’y ajouter : le minimum global préfère (1,73, 1,73), symétrique, sans écran interne-
externe. La corrélation angulaire et la corrélation radiale ne sont pas additives dans une fonction
d’essai à portée fixe : elles se concurrencent.
B3-F AIL
Deux échecs, une cause identifiée. (i) Borne non améliorée : −2,793 > −2,8485 (P27) — le
critère variationnel C1 échoue. (ii) Levier inversé : aux (a, b) optimisés, copt = 0 (C3 échoue) —
conséquence directe de (i), pas un signal indépendant. Cause : la portée du facteur saturant est
fixée à 1 a0 ; imposer le cusp 1/2 à toutes distances sur-corrèle la paire à grande séparation, là où le
vrai facteur de corrélation s’éteint. Laisser la portée libre guérirait l’énergie mais réintroduirait
un paramètre ajusté — exactement la trahison que la machine refuse. Le résultat n’est pas
confus, il est net : le cusp est nécessaire mais non suﬀisant ; la contrainte cinématique
ne fixe que le contact, pas la portée. Premier jet d’intégrateur également publié : jacobien
de Hylleraas faux (facteur 18) détecté par le contrôle J=1 catastrophique ( −0,53 Ha), corrigé
vers le poids cartésien 8π2r1r2u.
V erdict
Succès partiel (3/5) : contrôle validé, capture > 55% à Φ fixé, zéro paramètre — mais borne
P27 non franchie et levier inversé à Φ libre. Réponse à la question posée : la frontière r12 n’est ni
constitutive ni encore franchie — elle est fonctionnelle et non uniforme : le contact est dérivable
(cusp), la portée ne l’est pas sans paramètre nouveau. Le prochain pas, si vous le lancez, est
écrit par ce résultat : chercher une contrainte de portée dérivée (ex. condition de normalisation
de paire, ou cusp × décroissance imposée par l’échelle lB / a0 du problème), sinon la frontiere
sera déclarée constitutive, publiée comme telle. Compteur du chantier : 24 succès / 6
partiels-négatifs.
Chaîne documentaire. Script p30_cusp.py (sha 6a2cab68e93b) ; données p30_cusp.json (sha 788b6f7ff617) ; figure
p30_cusp.png (sha 1472c3d2bb30). S’appuie sur P27 (sha 320a7f2dc3ab) et P28 (sha 0a22c4745e63). Règles permanentes :
B3-F AIL,fermer, ne pas ajouter , conserver les versions , motivation, pas postulat .
2

Open the PDF on GitHub ↗

</> Simulation — Python scripts

p30_cusp.py ↗

⌗ Cross-references

P27 Success →

Corrélation à deux électrons — He & H₂

P31 Measured frontier →

Portée dérivée — frontière r₁₂ constitutive

P33 Partial →

Décroissance asymptotique — queue √(2I)

§ Related glossary entries

Cusp de Kato — Condition exacte sur la dérivée de la fonction d'onde au contact électron–noyau (rapport = 2 pour He). Atteint : 1,9 — la queue corrélée reste approximative.

Frontière r₁₂ — Limite constitutive de la machine : la réponse corrélée continue à deux corps (r₁₂ explicite) n'est pas dérivable sans liberté de forme. Déclarée en P31, loi en P32, renforcée en P33.

Queue asymptotique √(2I) — Décroissance exacte de la densité à grande distance, contrôlée par le potentiel d'ionisation I. Contrainte exacte cumulée en P33.

See the full glossary →